带电粒子在交变电磁场中的运动

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带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路

1、先读图：看清并明白场的变化情况。

2、受力分析：分析粒子在不同的变化场区的受力情况。

3、过程分析：分析粒子在不同时间内的运动情况。

4、建模：粒子在不同运动阶段，各有怎样的运动模型。

5、找衔接点：找出衔接相邻两过程的物理量。

6、选规律：联立不同阶段的方程求解。

例题：

一、交变磁场＋恒定电场

(2018·江苏五校联考)如图甲所示，平面直角坐标系中，0≤x ≤l,0≤y≤2l的矩形区域中施加一个如图乙所示的交变磁场(Bo和To未知)，磁场方向向里为正。一个比荷为c的带正电的粒子从原点O以初速度vo沿x轴正方向入射，不计粒子重力。

(1)若粒子从t＝0时刻入射，在t<To/2的某时刻从点(l，l/2)射出磁场，求Bo的大小；
(2)若

，且粒子在0≤t≤To/2的任一时刻入射时，粒子离开磁场时的位置都不在y轴上，求To的取值范围；
(3)若

，在x>l的区域施加一个沿x轴负方向的匀强电场，粒子在t＝0时刻入射，将在T0时刻沿x轴正方向进入电场，并最终从(0,2l)沿x轴负方向离开磁场，求电场强度的大小以及粒子在电场中运动的路程。

[解析]　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动
有

由几何关系可得

，解得R＝5l/4
联立解得

(2)粒子运动的轨迹半径为R′＝

临界情况为粒子从t＝0时刻入射，并且轨迹恰好与y轴相切，如图所示

粒子运动的周期

由几何关系，t＝To/2时间内，粒子转过的圆心角为5π/6
对应运动时间

应满足t1≥To/2，联立可得

(3)粒子的运动轨迹如图所示

由题意可得

，解得

粒子在电场中运动，根据牛顿第二定律可得Eq＝ma
根据运动学规律可得往返一次用时Δt＝2vo/a，则有Δt＝(n＋1/2)To

可得电场强度的大小

粒子在电场中运动的路程

二、交变电场＋恒定磁场

(2018·天津武清区三模)如图甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0，周期为T0。在t＝0时刻将一个质量为m、电量为－q(q>0)的粒子由S1静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t＝T0/2时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。(不计粒子重力，不考虑极板外的电场)

[解析]　(1)粒子由S1至S2的过程，根据动能定理得

 ①
由①式得

②
设粒子的加速度大小为a，由牛顿第二定律得qU0/d＝ma ③
由运动学公式得

④
联立③④式得

⑤

(2)设磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得qvB＝mv²/R ⑥
要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞，应满足2R>L/2 ⑦
联立②⑥⑦式得

⑧
(3)设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程用时为t1，有d＝vt1 ⑨
联立②⑤⑨式得t1 ＝T0/4 ⑩

若粒子再次到达S2时速度恰好为零，粒子回到极板间做匀减速运动，设匀减速运动的时间为t2，根据运动学公式得d＝vt2/2 ⑪
联立⑨⑩⑪式得t2＝T0/2 ⑫
设粒子在磁场中运动的时间t＝3T0－T0/2－t1－t2 ⑬
联立⑩⑫⑬式得t＝7T0/4 ⑭

设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，由⑥式结合运动学公式得T＝2πm/qB ⑮
由题意可知T＝t ⑯
联立⑭⑮⑯式得

三、交变电、磁场

(2018·河北衡水中学调研)在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制。如图甲所示，M、N为间距足够大的水平极板，紧靠极板右侧放置竖直的荧光屏PQ，在M、N间加上如图乙所示的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向里，图中E0、B0、k均为已知量。t＝0时刻，比荷q/m＝k的带正电的粒子以一定的初速度从O点沿水平方向射入极板间，在0～t1(t1＝

)时间内粒子恰好沿直线运动，

时刻粒子打到荧光屏上。不计粒子的重力，涉及图象中时间间隔时取0.8＝π/4，1.4＝

，求：

(1)在

时刻粒子的运动速度v；
(2)在

时刻粒子偏离O点的竖直距离y；
(3)水平极板的长度L。

[解析]　(1)在0～t1时间内，粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，则有qv0B0＝qE0，得v0＝E0/B0

在t1～t2时间内，粒子在电场中做类平抛运动，t2时刻竖直分速度vy＝a(t2－t1)＝qE0/m，

则

由tanθ＝vy/v0＝1得θ＝45°，即v与水平方向成45°角斜向下。

(2)t1～t2时间粒子在电场中偏转位移

在t2～t3时间内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动周期

在磁场中运动时间t＝t3－t2＝T/8
即做圆周运动的圆心角α＝45°，此时速度恰好沿水平方向
t2～t3时间粒子在磁场中，由

得

则t3时刻偏离O点的竖直距离y＝y1＋y2＝

(3)粒子在t3时刻进入电场后以初速度

做类平抛运动，平抛运动的末速度的竖直分速度
v’y＝at＝

则再次进入磁场时速度大小v′＝

由tanθ′＝v/v’y＝1得θ′＝45°，即v′与水平方向成45°角斜向下

由qv′B0＝mv′²/r2得r2＝

综上可得水平极板的长度

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